Программа была написана по вечерам в довольно сжатые сроки и была призвана решить загадку, как группы вращения куба замощают пространство кватернионов, кодирующих вращения (проективное пространство). В группе вращений куба 24 элемента, и соединить их можно вращениями на 90°, что соответствует 45° в кватернионах. Это образует какое-то подобие решётки, но для замощения этой информации недостаточно. Ещё нужны грани и ячейки, и для рассуждений о том, как они должны быть устроены, потребовалось сделать компьютерную визуализацию.

Готовые модели в формате OBJ можно найти в формате Wavefront OBJ в папке Wavefront. Сама программа написана довольно наскоро, и для разных результатов требуется редактировать сам исходный текст программы.

Получить среду разработки Delphi можно бесплатно по ссылке: https://www.embarcadero.com/products/delphi/starter

Модели можно смотреть в программе просмотра MeshLab: https://www.meshlab.net/ Использование: File, Import Mesh, выбрать Obj, отключить вершины, отключить View, Trackball. Рёбрам поставить белый цвет.

Известная особенность этой программы: линии (l) отображаются только если нет граней (f), и после того, как один раз импортировать OBJ с гранями, линии после Reload не начинают отображаться, так что обычно программа настроена рисовать грани полилиниями, чтобы было видно и объекты, и решётку. Для 3D-печати, напротив, были бы желательны грани.

Для 3D-печати подготовлен Wavefront/001_Stereographic_Faces.obj Но опыта такой печати нет, и правильная ориентация граней не гарантируется. Также это сделано в стереографической проекции, обычно более популярной для изображения эллиптического пространства. В этой проекции сохраняются углы.

Для рассуждений об устройстве замощения эта проекция не была удобной, и для большинства других 3D-моделей используется проекция на границу полутессеракта и режим рисования линиями. Вокруг центра в кубе с координатами от -1 до +1 это соответствует гномонической проекции, сохраняющей прямые.

Wavefront/002_Group_All_Octants.obj: группа вращений куба, со всеми октантами. Далее для удобства оставлены только два смежных октанта.

Wavefront/003_Group_Two_Octants.obj: группа вращений куба, показаны только два октанта.

Wavefront/004_Trihedron_1.obj: один триэдр.

Wavefront/005_Trihedrons_2.obj: в соседний октант зеркально добавлен второй триэдр.

Wavefront/006_Trihedrons_3.obj: промежуток между двумя триэдрами заполнен третьим, для которого понадобилось добавить только одну грань Мёбиуса.

Wavefront/007_Trihedrons_4_Triangle.obj: добавление четвёртого триэдра соседним к третьему заполнило всех соседей у третьего и образовало большое треугольное нечто с кубическими выступами по центру. Рёбра выступов расплющиваются и заканчиваются не вершиной, а серединой стороны треугольника.

Wavefront/008_Triangle_Pure.obj: Треугольник с кубическим выступом, очищенный от составляющих триэдров и в более удобном ракурсе.

Если расчёты верны, полное замощение гиперсферы имеет характеристики: V=48; E=144; F=344; C=192

По количеству ячеек такой 4D многогранник следовало бы называть 192-ячейник. (192-cell). Характеристики многогранника считаются в полной гиперсфере, то есть, с геометрией спина. Пространственным вращениям соответствует проективное пространство, в нём все характеристики меньше в два раза, так что вершин 24, это количество элементов группы вращений куба. А замощение пространства вращений требует 96 ячеек. Но в названии замощения во избежание путаницы принято указывать характеристику в полном эллиптическом пространстве, так что версия для проективного пространства могла бы называться полу-192-ячейник.

Ячейки имеют характеристики: V=5; E=6; F=3

В эллиптическом пространстве обычно под гранью подразумевают фрагмент большой сферы, а большие сферы играют роль плоскости. Для трёхгранника потребовалось расширить понятие грани так, чтобы включить фрагменты ленты Мёбиуса, ограниченные рёбрами, параллельными по Клиффорду.

5 вершин трёхгранника можно разбить на две группы: два полюса и три вершины экватора. Полюс локально напоминает вершину куба. В вершинах экватора два ребра от полюсов встречаются под прямым углом. Друг с другом вершины экватора не связаны рёбрами, между ними только грани, натянутые так, что в сечении экватора грани сходятся в вершинах под углом 0°.